Transformation de Laplace et fonctions de Green

Sommaire

• Classe des fonctions considérées
• Définition
• Abscisse de sommabilité s₀
• Théorème fondamental
• Propriétés élémentaires
• Propriétés importantes
• Théorèmes taubériens
• Convolution
• Théorème d'inversion locale
• Formulaire minimal
• Fonctions de Green
• Opérateurs différentiels à coefficients constants
• Opérateur général du second ordre

 

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Classe des fonctions considérées

On considère des fonctions causales (ou retardées) de la forme Y(t)f(t), où Y(t) est l'échelon de Heaviside :

$$Y(t)=\left\{\begin{array}{cc}1\qquad & t\gt \\ 0\qquad & t<0\end{array}\right.$$

De plus on impose les conditions
 
• f(t) localement sommable, c.a.d. $\forall \ a,\ b$ bornés on a $$\int_a^b\,\vert f(t)\vert dt<\infty,$$
•  f(t) est à croissance exponentielle, c.a.d. que si t est assez grand on a l'inégalité




$$\vert f(t)\vert\leq Me^{kt},\qquad k<+\infty.$$

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Définition

La transformée de Laplace (TL) de $\ Y(t)f(t)$, notée $\ F(p),$ est définie par

$${\cal L}(Y(t)f(t))=F(p)=\int_0^{\infty}\,e^{-pt}f(t)dt,\qquad p\in{\mathbb C}.$$

On écrit aussi la correspondance symbolique

$$Y(t)f(t)\ \sqsupset\ F(p).$$

Abscisse de sommabilité s₀

Elle est définie par :
 
• si $\ \mbox{Re}\, p\gt s_0\$ alors $\ e^{-pt}f(t)\$ est sommable pour $\ t\in[0,+\infty[,$
•  si $\ \mbox{Re}\, p<s_0\$ alors $\ e^{-pt}f(t)\$ n'est pas sommable pour $\ t\in[0,+\infty[.$

 

 

 Dans la classe de fonctions considérée on a $\ s_0\leq k<+\infty.$

Théorème fondamental

Pour la classe de fonctions considérées la TL a les propriétés suivantes :
 
• $F(p)\$ est analytique si $\ \mbox{Re}\, p\gt s_0\$.
•  Ses dérivées successives s'obtiennent en dérivant sous le signe somme




$$\displaystyle \left(-\frac{d}{dp}\right)^nF(p)=\int_0^{\inf... ...\, t^n\,f(t)dt,\qquad \mbox{Re}\, p\gt s_0,\qquad n=0,1,\cdots$$

(il en résulte que $\ Y(t)f(t)$ et $\ Y(t)\,t^n\,f(t)\$ ont la même abscisse de sommabilité).
• Si $\ \mbox{Re}\, p\to+\infty\$ alors $\ F(p)\to 0.$

Propriétés élémentaires

• $Y(t)f(t)\ \sqsupset\ F(p),\qquad s_0$
•  $a\in{\mathbb C},\qquad Y(t)\, e^{at}\,f(t)\ \sqsupset\ F(p-a),\qquad s_0+\mbox{Re}\, a$
•  $$a\gt,\qquad Y(t)f(at)\ \sqsupset\ \frac 1aF(\frac pa),\qquad as_0$$
•  $a\geq 0,\qquad Y(t-a)f(t-a)\ \sqsupset\ e^{-ap}F(p),\qquad s_0$

Propriétés importantes

• L'abscisse de sommabilité de $\ Y(t)\,t^n\,f(t)\$ pour $\ n=0,1,\cdots\$ est la même et on a




$$\displaystyle \qquad Y(t)\, t^n\,f(t)\ \sqsupset\ \left(-\f... ...d}{dp}\right)^nF(p),\qquad\mbox{pour}\quad\mbox{Re}\, p\gt s_0.$$

• Si $\ f(t)\$ est absolument continue et si f(t) et f'(t) ont même abscisse de sommabilité $\ s_0\$ on a




$$Y(t)f'(t)\ \sqsupset\ pF(p)-f(0+),\qquad\mbox{pour}\quad\mbox{Re}\, p\gt s_0.$$

L'itération donne

$$Y(t)f''(t)\ \sqsupset\ p^2F(p)-pf(0+)-f'(0+).$$

Théorèmes taubériens

Sous les mêmes hypothèses que pour la propriété 2 du paragraphe 2.4 on a

$$pF(p)\to f(0+)\qquad\mbox{si}\qquad\mbox{Re}\, p\to +\infty.$$

De façon plus générale si f(t) admet la série asymptotique pour $t\to 0$ :

$$\displaystyle f(t)\sim a_0+a_1\frac{t}{1!}+\cdots+a_n\frac{t^n}{n!},$$

alors F(p) admet la série asymptotique pour $\ \mbox{Re}\, p\to+\infty\$ :

$$F(p)\sim \frac{a_0}{p}+\frac{a_1}{p^2}+\cdots+\frac{a_n}{p^{n+1}}.$$

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Convolution

Dans la classe de fonctions considérées, la convolution est stable

$$Y(t)f(t)\star Y(t)g(t)=Y(t)h(t),\qquad h(t)=\int_0^t\, f(u)g(t-u)du.$$

Si on définit

$$Y(t)f(t)\ \sqsupset\ F(p),\qquad s_0,\qquad\qquad Y(t)g(t)\ \sqsupset\ G(p),\qquad s_1,$$

alors on a

$$Y(t)f(t)\star Y(t)g(t)\ \sqsupset\ F(p)\cdot G(p),\qquad\mbox{max}(s_0,s_1).$$

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Théorème d'inversion locale

Soit $Y(t)f(t)\ \sqsupset\ F(p),\ s_0,$ avec f(t) continue par morceaux (un nombre fini de morceaux dans un intervalle fini) et $f'(t\pm)$ existe ($\forall t$ pour t>0 et f'(0+) existe) alors :

Pour la transformée de Laplace on a aussi un théorème de nullité qui s'énonce : si $\ F(p)=0\$ alors $\ f(t)\$ est presque partout nulle. Si en plus $\ f(t)\$ est continue, alors elle est partout nulle.

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Formulaire minimal

On a la table de correspondance

$$\begin{array}{ll}\displaystyle a\in{\mathbb C},\qquad Y(t)... ...qsupset-\frac{\gamma+{\rm Log}\, p}{p},\quad s_0=0.\end{array}$$

Pour la dernière ligne il faut utiliser la détermination principale avec coupure à gauche. Le symbole $\ \gamma\$ désigne la constante d'Euler.

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Fonctions de Green

 
• Opérateurs différentiels à coefficients constants
• Opérateur général du second ordre

Opérateurs différentiels à coefficients constants

Soit l'équation différentielle

$$\displaystyle (D_t^n+a_1D_t^{n-1}+\cdots+a_{n-1}D_t+a_n)x(t)=f(t),\qquad D_t=\frac d{dt},$$

où les $\ a_n\$ sont des constantes réelles ou complexes. Sous l'hypothèse que $\ f(t)\$ est localement sommable et à croissance exponentielle, la solution générale s'écrit

$$Y(t)x(t)=Y(t)x_0(t)+G(t)\star Y(t)f(t),$$

où $\ x_0(t)\$ est la solution générale de l'équation homogène et $\ G(t)\$ est la fonction de Green causale (ou retardée ou à support dans $\ {\mathbb R}^+\$) que l'on écrit $\ G(t)=Y(t)g(t)\$.

 On montre que celle-ci existe et est unique et peut s'obtenir :

 
• Soit en utilisant




$$\displaystyle G(t)\quad\sqsupset\quad\frac 1{p^n+a_1p^{n-1}+\cdots+a_n},$$

suivi d'une inversion de Laplace.
• Soit en calculant la solution de l'équation homogène




$$(D_t^n+a_1D_t^{n-1}+\cdots+a_{n-1}D_t+a_n)g(t)=0,$$

avec les conditions initiales

$$g(0)=g'(0)=\cdots=g^{(n-2)}(0)=0,\qquad g^{(n-1)}(0)=1.,\quad n\geq 2.$$

On a par exemple

$$\displaystyle \frac d{dt}-\lambda\quad\Longrightarrow\quad ... ...\Longrightarrow\quad G(t)=Y(t)\frac{\sin\omega_0 t}{\omega_0}.$$


 
 

Opérateur général du second ordre

Soit l'équation différentielle

$$\displaystyle \left(a_0(t)D_t^2+a_1(t)D_t+a_2(t)\right)x(t)=f(t),$$ (1)

et soient x₁ et x₂ deux solutions linéairement indépendantes de l'équation homogène. Donc leur Wronskien $\ W(u)=x_1(u)x'_2(u)-x_2(u)x'_1(u)$ est non-nul. La solution générale de l'équation (1) peut s'écrire

$$\displaystyle Y(t)x(t)=Y(t)x_0(t)+\int_0^{\infty}\, G(t,u)f(u)\, du,$$

où $\ x_0(t)\$ est la solution générale de l'équation homogène et

$$\displaystyle G(t,u)=-Y(t-u)\frac{x_1(t)x_2(u)-x_2(t)x_1(u)}{a_0(u)\,W(u)}.$$

Explicitement on a

$$\displaystylex(t)=x_0(t)-x_1(t)\int_0^t\,\frac{x_2(u)f(u)}{... ...(t)\int_0^t\,\frac{x_1(u)f(u)}{a_0(u)W(u)}\, du,\qquad t\geq 0.$$ (2)

Remarques :

 
• Vérifier par le calcul des dérivées que (2) est bien solution de l'équation (1).
• Vérifier que l'on retrouve les résultats du paragraphe 6.1 lorsque les $\, a_i\,$ sont des constantes.
• Dans l'équation (2) l'intégrale qui porte sur l'inhomogénéité $\, f(u)\,$ n'est plus une intégrale de convolution lorsque les coefficients $\, a_i\,$ dépendent du temps.
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