Séries de Fourier

Sommaire :

Convergence simple
Convergence uniforme de la série de Fourier
Convergence en norme L²

Propriétés des coefficients de Fourier

Lemme de Riemann-Lebesgue :
Théorème de nullité :
Décroissance pour $n\to\infty$ :
Dérivation terme à terme :
Convolution :

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Séries de Fourier complexes

Soit f(x) une fonction à valeurs complexes. Sa période est définie comme la plus petite valeur T, avec $\ 0<T<+\infty\$ telle que : $\hspace{0.2cm}f(x+T)=f(x)$ . On définit ses coefficients de Fourier $\ c_n(f)\$ par

$\begin{displaymath}\displaystyle c_n(f)=\frac 1T\int_0^T e^{-in\frac{2\pi}{T}x}f(x)dx,\qquad n\in{\mathbb Z},\end{displaymath}$

(1)

et la série de Fourier (SF) associée à f(x) est

$\begin{displaymath}\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(f)\,e^{in\frac{2\pi}{T}x}.\end{displaymath}$

(2)

Afin de préciser le sens de cette somme infinie de fonctions, et son lien éventuel avec f(x), on considère la suite des sommes partielles

$\begin{displaymath}\displaystyleS_N(f)(x)=\sum_{n=-N}^{+N}c_n(f)e^{in\frac{2\pi}{T}x}.\end{displaymath}$

(3)

Remarques :

La SF et la suite $\, S_N\,$ ont pour période T, comme f(x).
Du fait de la périodicité de f(x) on peut prendre, dans la relation (1), des bornes $\lambda$ et $\lambda+T$ pour tout $\lambda\in{\mathbb R}$ .
L'égalité éventuelle entre f(x) et la limite lorsque $N\to\infty$ de $\, S_N(f)(x)\,$ ne va pas de soi! Il faut préciser la notion de convergence considérée : simple, uniforme, en norme, etc...

On a les propriétés simples :

parité :

$\begin{displaymath}\qquad\left\{\begin{array}{c}f(x)\ \mbox{ paire}\qquad \Lo... ...ire}\qquad \Longrightarrow\qquad c_{-n}=-c_n.\end{array}\right.\end{displaymath}$

réalité :

$\begin{displaymath}\qquad\left\{\begin{array}{ccc}f(x)\ \mbox{ r\'eelle} & \q... ...ongrightarrow\qquad & \overline{c}_{-n}=-c_n.\end{array}\right.\end{displaymath}$

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Séries de Fourier réelles

Si f(x) est réelle on peut définir

$\begin{displaymath}\displaystyle c_0=\frac{a_0}{2},\hspace{0.5cm}c_n=\frac{a_n-... ...\hspace{0.5cm}c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}\hspace{0.5cm}n\geq 1,\end{displaymath}$

avec des coefficients $\, a_n,\ b_n,\$ réels. La relation (1) donne

$\begin{displaymath}\displaystyle a_n(f)=\frac 2T\int_{-T/2}^{+T/2}dx\,f(x)\cos... ...T\int_{-T/2}^{+T/2}dx\,f(x)\sin(n\frac{2\pi}{T}x),\ \ n\geq 1.\end{displaymath}$

Cette écriture est adaptée au cas où f(x) a une parité définie. La série de Fourier (2) s'écrit alors

$\begin{displaymath}\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n\geq 1}\left(a_n\cos( n\frac{2\pi}{T}x)+b_n\sin(n\frac{2\pi}{T}x)\right),\end{displaymath}$

avec la suite des sommes partielles

$\begin{displaymath}\displaystyleS_N(f)(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^N\left(a_n\cos( n\frac{2\pi}{T}x)+b_n\sin(n\frac{2\pi}{T}x)\right).\end{displaymath}$

parité :

$\begin{displaymath}\qquad\left\{\begin{array}{ccc}f(x)\ \mbox{ paire}& \qquad... ...\Longrightarrow\qquad & a_n=0,\quad n\geq 0.\end{array}\right.\end{displaymath}$

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Lien entre séries de Laurent et séries de Fourier

Soit f(z) une fonction analytique dans la couronne ouverte $\ 1-\epsilon<\vert z\vert<1+\epsilon$ avec $\ \epsilon\gt$ . On a vu qu'alors f(z) est développable en série de Laurent

$\begin{displaymath}\displaystylef(z)=\sum_{n\in{\mathbb Z}}a_nz^n,\qquad a_n=\frac 1{2i\pi}\oint\frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du.\end{displaymath}$

(4)

Si l'on pose $z=e^{i\theta}$ la série de Laurent devient une SF

$\begin{displaymath}f(e^{i\theta})=g(\theta)=\sum_{n\in{\mathbb Z}}a_n e^{in\theta},\end{displaymath}$

avec $\, g(\theta)\,$ de période $T=2\pi$ .La relation (4) devient

$\begin{displaymath}a_n(f)=c_n(g(\theta))=\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\,e^{-in\theta}g(\theta)d\theta.\end{displaymath}$

Avec les hypothèses faites la SF converge absolument et uniformément vers $g(\theta)$ pour tout $\theta\in{\mathbb R}$ .

Cette approche est trop restrictive car on veut étudier les SF de fonctions d'une variable réelle. Celles-ci ne sont pas en général prolongeables en des fonctions analytiques dans ${\mathbb C}$ .

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Fonctions absolument continues

On dit que f(x) est absolument continue pour $x\in[a,b]$ si pour toute famille d'intervalles 2 à 2 disjoints $[a_k,b_k],\ \ b_k\gt a_k$ avec $k=1,\ldots,n$ on a

$\begin{displaymath}\displaystyle\forall\epsilon\gt\quad\exists\delta\gt :\qqua... ...1}^n\left\vert f(b_k)-f(a_k)\right\vert<\epsilon\quad\forall n.\end{displaymath}$

Pour n=1 il en résulte que la continuité absolue implique la continuité uniforme (donc une fonction qui n'est pas continue ne peut être absolument continue).

On a le très important résultat, spécifique de l'intégrale de Lebesgue :

Théorème : soit $\, f(x)$ localement sommable (c. a. d. que sur tout compact ${\mathbb K}\subset[a,b]$ on a $\displaystyle\int_{\mathbb K}\vert f(x)\vert dx<\infty$ ) alors la fonction

$\begin{displaymath}F(x)=\int_a^x\, f(u)du\end{displaymath}$

est absolument continue si $x\in[a,b]$ .

Avec ces notions on peut énoncer la relation d'intégration par parties :

$\begin{displaymath}\int_a^b\, f(x)g(x)dx=f(b)G(b)-f(a)G(a)-\int_a^b\, f'(x)G(x)dx,\qquad G(x)=\int_a^x\, g(u)du,\quad G(a)=0,\end{displaymath}$

valable si g(x) est localement sommable et f(x) absolument continue.

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Convergences des SF

Convergence simple
Convergence uniforme de la série de Fourier
Convergence en norme L²

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Convergence simple

Soit f(x) réelle de période T, avec un nombre fini de discontinuités finies dans la période, et qui admet en tout point x₀ une dérivée à droite et à gauche. Alors la suite des sommes partielles S_N(f)(x₀) converge simplement (c. a. d. comme une série numérique) lorsque $N\to\infty$ vers

[ $\bullet$ ] $\displaystyle\frac 12 \left( f(x_0+)+f(x_0-)\right)$ si x₀ est un point de discontinuité de f,
[ $\bullet$ ] f(x₀) si f est continue en x=x₀.

Remarques :

La seule continuité de f(x) n'implique pas la convergence simple de la SF. Il existe des fonctions continues en un point et pour lesquelles la SF diverge en ce point! L'hypothèse d'existence d'une dérivée à gauche et à droite est une restriction très forte. On sait qu'il existe des fonctions continues sur ${\mathbb R}$ qui sont nulle part dérivables (voir l'exemple de Weierstrass page 351 de la référence [3]).
Si l'on suppose f(x) continue, peut-on resommer plus astucieusement les sommes partielles de façon à reconstruire f(x)? Le théorème de Fejér donne un réponse positive à cette question. Soit f(x) périodique, de période T, et continue $\,\forall x\in{\mathbb R}$ , alors la suite des moyennes arithmétiques

$\begin{displaymath}\sigma_n(f)(x)=\frac 1n\left(S_0(f)(x)+S_1(f)(x)+\cdots+S_{n-1}(f)(x)\right),\end{displaymath}$

uniformément

$n\to\infty$

Convergence uniforme de la série de Fourier

Soit f(x) de période T et absolument continue $\forall x\in{\mathbb R}$ avec $\, f'\in L^2$ alors $\, S_N(f)(x)$ converge uniformément vers f(x) pour tout $x\in{\mathbb R}$ .

Convergence en norme L²

Si $f(x)\in L^2$ (c. a. d. si l'intégrale $\ \displaystyle \int_0^T\, \vert f(x)\vert^2\, dx<\infty),$ alors la suite S_N(f)(x) converge en moyenne quadratique vers f(x) ce qui signifie

$\begin{displaymath}\displaystyle\lim_{N\to\infty}\vert\vert S_N(f)-f\vert\vert... ...\lim_{N\to\infty}\int_0^T\,\vert f(u)-S_N(f)(u)\vert^2\, du=0,\end{displaymath}$

ou, de façon équivalente

$\begin{displaymath}\displaystyle\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{+N}\vert c_n(f)\v... ...rt f\vert\vert^2\equiv\frac 1T\int_0^T \,\vert f(x)\vert^2 dx,\end{displaymath}$

et aussi

$\begin{displaymath}\displaystyle\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{+N}\overline{c}_n(f)c_n(g)=(f,g)\equiv\frac 1T\int_0^T\, \overline{f}(x)g(x)dx.\end{displaymath}$

La dernière relation découle de la précédente si l'on utilise l'identité dite de polarisation

4(f,g)=||f+g||²-||f-g||²+i||f-ig||²-i||f+ig||².

Remarque : la convergence uniforme implique la convergence simple et la convergence en norme L².
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Propriétés des coefficients de Fourier

Lemme de Riemann-Lebesgue :
Théorème de nullité :
Décroissance pour $n\to\infty$ :
Dérivation terme à terme :
Convolution :

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Lemme de Riemann-Lebesgue :

Soit $f(x)\in L^1$ (c. a. d. que $\displaystyle\int_0^T\,\vert f(x)\vert dx<\infty$ ) alors on a

$\begin{displaymath}\displaystyle\lim_{n\to\pm\infty}c_n(f)=\lim_{n\to\pm\infty}\frac 1T\int_0^T\, e^{-in\frac{2\pi}{T}x}f(x)dx=0.\end{displaymath}$

Du fait que $L^2\subset L^1$ ce résultat reste vrai si $f\in L^2$ .

Théorème de nullité :

Si $\ c_n(f)=0,\quad\forall n\in{\mathbb Z}$ alors f(x) est presque partout nulle. Si de plus f(x) est continue alors $f(x)\equiv 0$ .

Décroissance pour $n\to\infty$ :

Si l'on veut préciser le comportement des c_n il faut faire des hypothèses supplémentaires. Par exemple : si $f(x)\in L^1$ et si $\forall x\in{\mathbb R}$ et $h\to 0$ on a

$\begin{displaymath}\vert f(x+h)-f(x)\vert={\cal O}(\vert h\vert^{\alpha}),\quad\mbox{avec}\quad 0<\alpha\leq 1,\end{displaymath}$

alors on a

$\begin{displaymath}\displaystyle \vert a_n\vert,\ \ \vert b_n\vert,\ \ \vert c_... ...eft(\frac 1{n^{\alpha}}\right),\quad\mbox{si}\quad n\to\infty.\end{displaymath}$