L'Essentiel sur les séries numériques
 

Sommaire :

 -Définitions
 -Résultats généraux
 -Séries à termes positifs
 -Séries alternées
 -Séries doubles
 -Séries de fonctions
 -Séries entières

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Définitions

Soient $\quad u_0,\ u_1,\cdots,u_n,\cdots\in{\mathbb C}$. Le symbole $$\ S=\sum_{k=0}^{\infty} u_n\$$ est défini comme la limite (si elle existe) de la suite des sommes partielles :

$$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n} u_k.$$

Si $\ \quad\displaystyle\lim_{n\to\infty}\vert S-S_n\vert=0\$ on dit que la série $\ \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} u_k\$ est convergente et a pour somme S.

On dit que la série $$\ S=\sum_{n=0}^{\infty} u_n\$$ converge absolument si $$\ \sum_{n\geq 0}\vert u_n\vert$$ converge. La convergence absolue entraîne la convergence simple par l'inégalité

$$\displaystyle\left\vert\sum_{n\geq 0}u_n\right\vert\leq\sum_{n\geq 0}\vert u_n\vert,$$

alors que l'inverse est en général faux comme le montre la série de terme général $$\ u_n=\frac{(-1)^n}{n+1},$$ qui converge simplement mais pas absolument.

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Résultats généraux utiles

• [a)] condition nécessaire de convergence :

pour que $$\sum_{n\geq 0}u_n$$ converge il est nécessaire que $$\lim_{n\to\infty}u_n=0$$.
• [b)] condition nécessaire et suffisante de convergence :

si la série des parties réelles $\mbox{ Re }u_n$ et des parties imaginaires $\mbox{ Im }u_n$ sont convergentes.
• [c)] condition nécessaire et suffisante de Cauchy :

la série $\ \displaystyle S=\sum_{k=0}^{\infty} u_k\$ converge ssi la suite $\ S_n\$ des sommes partielles est une suite de Cauchy c. a. d.

$$\forall\epsilon\gt,\quad\exists\ N(\epsilon)\ :\quad p,q\geq... ...\epsilon)\quad\Rightarrow\quad \vert S_p-S_q\vert\leq\epsilon.$$

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Séries à termes positifs

• [a)] condition nécessaire et suffisante de convergence :

Ssi $\ S_n\leq M\$ avec M indépendant de n alors $$\sum_{n\geq 0}u_n$$ converge.
• [b)] comparaison des séries :

Soient 2 séries $$\sum_{n\geq 0}u_n$$ et $$\sum_{n\geq 0}v_n$$. Si l'on a pour $n\geq N\$ l'inégalité $\ u_n\leq v_n$, alors
 
• [$\bullet$] si $$\sum_{n\geq 0}u_n$$ diverge alors $$\sum_{n\geq 0}v_n$$ diverge,
• [$\bullet$] si $$\sum_{n\geq 0}v_n$$ converge alors $$\sum_{n\geq 0}u_n$$ converge.
• [c)] équivalence des séries :

Si $$\ \lim_{n\to\infty}\frac{v_n}{u_n}=\lambda\neq 0,$$ alors $$\sum_{n\geq 0}u_n$$ et $$\sum_{n\geq 0}v_n$$ sont de même nature (toutes deux divergentes ou toutes deux convergentes).
• [d)] comparaison à l'intégrale :

Soit f(x) continue et monotone décroissante si $x\to +\infty$, alors

$$\displaystyle\sum_{n\geq N}\ f(n)\quad\quad\mbox{ et }\quad\... ...int_N^{\infty}\, f(x)\, dx\quad\mbox{ sont de m\^{e}me nature.}$$

• [e)] séries de comparaison de Riemann :

La série $\ \displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac 1{n^{\alpha}}\$ converge si $\alpha\gt 1$ et diverge si $\ \alpha\leq 1$.
• [f)] règle de Cauchy :

Supposons que $\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}(u_n)^{1/n}=q,\$ alors
 
• [$\bullet$] si $\ q<1\$ la série $$\sum_{n\geq 0}u_n$$ converge,
• [$\bullet$] si $\ q\gt 1\$ la série $$\sum_{n\geq 0}u_n$$ diverge.
• [g)] règle de d'Alembert :

Supposons que $\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q,\$ alors
 
• [$\bullet$] si $\ q<1\$ la série $$\sum_{n\geq 0}u_n$$ converge,
• [$\bullet$] si $\ q\gt 1\$ la série $$\sum_{n\geq 0}u_n$$ diverge.

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Séries alternées

Une série est alternée si $u_{n+1}\cdot u_n<0\quad\forall n.$Soit une série alternée telle que :

 
• [$\bullet$] $\ \vert u_n\vert\$ est monotone décroissante,
• [$\bullet$] $\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=0\,$

alors elle converge et son reste $$\ r_n=\sum_{k=n}^{\infty}u_k\$$ est majoré par $\ \vert r_n\vert\leq \vert u_{n}\vert.$
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Séries doubles

Soit la suite à deux indices $\{u_{n,p}\}$ avec $\, n, p\in{\mathbb N}.$On peut définir deux sommes :

$$\displaystyle\sum_{n\geq 0}\left(\sum_{p\geq 0} u_{n,p}\righ... ...}\quad\quad \sum_{p\geq 0}\left(\sum_{n\geq 0} u_{n,p}\right),$$

qui, en général, sont différentes. On a le résultat : si la série double converge absolument, c'est à dire si

$$\displaystyle \sum_{n\geq 0}\sum_{p\geq 0} \vert u_{n,p}\vert<\infty,$$

alors on a l'égalité

$$\displaystyle S=\sum_{n\geq 0}\left(\sum_{p\geq 0} u_{n,p}\right)=\sum_{p\geq 0}\left(\sum_{n\geq 0} u_{n,p}\right).$$

Ce théorème est l'équivalent, pour les séries doubles, du théorème de Fubini pour les intégrales doubles.



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Séries de fonctions

Soit $t\in[a,b]$ et la suite de fonctions $u_n(t),\ n\in{\mathbb N}$ pour $t\in[a,b]$ avec a et b bornés.

 
• [a)]convergence simple pour t=t₀ :


On dit que $$\sum_{n\geq 0}u_n(t)$$ converge simplement en t=t₀ vers S(t₀) si

$$\displaystyle\forall\epsilon\gt\quad\exists N(\epsilon,t_0)\... ...arrow\quad\vert S(t_0)-\sum_{k=0}^{n}u_k(t_0)\vert\leq\epsilon.$$

Cette notion de convergence est locale, au point t=t₀ (en anglais ``pointwise convergence"). En particulier la série $$\sum_{n\geq 0}u_n(t_0)$$ est une série numérique puisque t est fixé à la valeur t₀

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Séries entières
Soit $\{a_n,\ n\in{\mathbb N}\}\$ une suite de nombres complexes et $\ z\in{\mathbb C};$ on note $$\sum_{n\geq 0}a_nz^n$$ la série entière (centrée sur le point z=0). On a les résultats :
 
• [1.] lemme d' Abel : s'il existe $z_0\neq 0$ tel que la série numérique $$\sum_{n\geq 0}a_n z_0^n$$ soit convergente, alors on sait que
 
• [$\bullet$] la série entière converge absolument si |z|<|z₀|,
• [$\bullet$] pour $\ \vert z\vert\leq\rho<\vert z_0\vert\$ la série entière converge uniformément.
• [2.] rayon de convergence R : pour toute série entière $\exists\ R$ (avec les cas limites R=0 et $R=\infty$ possibles) tel que :
 
• [$\bullet$] si |z|<R la série entière converge absolument,
• [$\bullet$] si |z|>R la série diverge,
• [$\bullet$] si $\vert z\vert\leq\rho<R$ la série converge uniformément et donc sa somme S(z) est une fonction continue de z (on verra plus tard que S(z) est en fait analytique si |z|<R).
• [3.]produit de deux séries entières : soient les séries entières $$\sum_{n\geq 0}a_nz^n$$, de rayon de convergence R₁, et $$\sum_{n\geq 0}b_n z^n$$, de rayon de convergence R₂, alors leur produit est une série entière $$\sum_{n\geq 0}c_n z^n$$ dont les coefficients sont donnés par


$$\displaystyle c_n=\sum_{k=0}^{n}\, a_k\, b_{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\, b_k\, a_{n-k},$$

et dont le rayon de convergence est $R=\inf(R_1,R_2).$
• [4.] dérivation ou intégration terme à terme : en dérivant (resp. en intégrant) terme à terme une série entière on ne change pas son rayon de convergence et on obtient la dérivée (resp. l'intégrale) de la somme pour |z|<R.
• [5.]la série géométrique : son rayon de convergence est R=1, et sa somme


$$\displaystyle\sum_{n\geq 0}z^n=\frac 1{1-z},\quad\quad \vert z\vert<1,$$

définit une fonction continue (en fait analytique) de z dans l'ouvert |z|<1.
[6.] théorème d'annulation : si une série entière $$\sum_{n\geq 0}a_nz^n$$ est nulle pour |z|<r avec $\, r\gt\,$ alors tous ses coefficients $\{a_n,\ n\in{\mathbb N}\,\!\}\$ sont nuls.

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